导数综合应用：极值、最值与构造函数

一、导数与函数单调性

f'(x)>0 ⟺ f(x)单调递增

f'(x)<0 ⟺ f(x)单调递减

二、函数的极值与最值

极值：f'(x₀)=0，且x₀两侧符号相反

最值：比较极值点与端点函数值

三、构造函数技巧

这是高考压轴题的常见题型：

1. 看到f'(x)+f(x)，构造eˣf(x)
2. 看到f'(x)-f(x)，构造e⁻ˣf(x)
3. 看到xf'(x)+f(x)，构造xf(x)
4. 看到xf'(x)-f(x)，构造f(x)/x

四、导数与不等式证明

核心思路：将不等式变形，构造新函数，求导分析单调性，最后求最值

典型例题：证明eˣ≥x+1

构造g(x)=eˣ-x-1，求导得g'(x)=eˣ-1，由g'(x)≥0得g(x)≥g(0)=0，得证。